ЗАДАЧИ
ИЗ ТЕСТОВ С РЕШЕНИЯМИ
Задача 1. Из урны, в которой
находятся 12 белых и 10 черных шаров, вынимают наудачу один шар. Тогда
вероятность того, что этот шар будет черным, равна…
Решение.
Воспользуемся формулой 
, где n - общее число
возможных элементарных исходов испытания, а m -
число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A. В нашем случае возможны n=12+10=22 элементарных
исхода испытания, из которых благоприятствующими являются m=10 исходов. Следовательно, 
.
Задача 2. Игральная кость бросается
один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет четное число
очков, равна…
Решение.
Воспользуемся формулой , где n - общее число
возможных элементарных исходов испытания, а m -
число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A. В нашем случае возможны n=6 элементарных
исходов испытания (на верхней грани появится одно, два,…, шесть очков), из
которых благоприятствующими являются три исхода (два, четыре и шесть очков).
Следовательно, m=3 и 
.
Задача 3. Из урны, в которой находятся
6 черных и 10 белых шаров, вынимают одновременно 2 шара. Тогда вероятность
того, что оба шара будут белыми, равна…
Решение.
Воспользуемся формулой , где n - общее число
возможных элементарных исходов испытания, а m -
число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A. В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно
числу способов, которыми можно извлечь два шара из 16 имеющих, то есть 
. А общее число благоприятствующих исходов равно числу
способов, которыми можно извлечь два белых шара из десяти имеющихся, то есть 
. Следовательно, 
.
Задача 4. Два предприятия производят
разнотипную продукцию. Вероятности их банкротства в течение года равны 0,1 и
0,2 соответственно. Тогда вероятность того, что в течение года обанкротится
хотя бы одно предприятие, равна…
Решение.
Введем обозначения событий: A1 - обанкротится первое предприятие; A2 - обанкротится второе предприятие; A - обанкротится хотя бы одно предприятие; 
- ни одно предприятие не обанкротится. Тогда =
, где 
- событие, противоположное событию Ai. причем 
. Так как, по условию задачи, события A1 и A2 независимы,
то 
.
Задача 5. Два стрелка производят по одному
выстрелу. Вероятность попадания в цель для первого и второго стрелков равны 0,7
и 0,85 соответственно. Тогда вероятность того, что в цель попадет только один
стрелок, равна …
Решение.
Введем обозначения событий: A1 - в цель попадет первый стрелок, A2 - в цель
попадет второй стрелок, A - в цель попадет
только один стрелок. Тогда =
+, где - событие, противоположное событию Ai, причем . Так как, по условию задачи, события A1 и A2 несовместны и
независимы, то
.
Задача 6. Устройство состоит из трех
элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы этих элементов
(в течение рабочего дня) равны соответственно 0,9, 0,8 и 0,7. Тогда вероятность
того, что в течение рабочего дня будут работать безотказно все три элемента,
равна…
Решение.
Введем
обозначения событий: Ai -
в течение рабочего дня безотказно работает i - ый элемент, A – в течение рабочего дня
работают безотказно все три элемента. Тогда A=A1·A2·A3. Так как, по
условию задачи, события A1, A2 и A3 независимы, то
P(A)=P(A1·A2·A3)=
=P(A1)·P(A2)·P(A3)=0,9·0,8·0,7=0,504.
Задача 7. В первой урне 3
черных и 7 белых шаров. Во второй урне 4 белых и 6 черных шаров. В третьей урне
11 белых и 9 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда
вероятность того, что этот шар окажется белым, равна…
Решение.
Для вычисления вероятности события A (вынутый наудачу шар – белый) применим формулу полной
вероятности: 
.
Здесь: 
- вероятность того, что шар извлечен из первой урны; 
- вероятность того, что шар извлечен из второй урны; 
- вероятность того, что шар извлечен из третьей урны. 
- условная вероятность того, что вынутый шар белый,
если он извлечен из первой урны; 
- условная вероятность того, что вынутый шар белый,
если он извлечен из второй урны; 
- условная вероятность того, что вынутый шар белый,
если он извлечен из третьей урны.
Тогда 
.
Задача 8. В первой урне 6 черных и 4
белых шара. Во второй урне 2 белых и 18 черных шаров. Из наудачу взятой урны
вынули один шар, который оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар
извлечен из первой урны, равна…
Решение.
Предварительно
вычислим вероятность события A (вынутый
наудачу шар – белый) по формуле полной вероятности: 
.
Здесь: - вероятность того, что шар извлечен из первой урны; - вероятность того, что шар извлечен из второй
урны; - условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он
извлечен из первой урны; - условная вероятность того, что вынутый шар белый,
если он извлечен из второй урны.
Тогда 
.
Теперь вычислим условную вероятность того, что шар извлечен из первой урны,
если он оказался белым, по формуле Байеса:
.
Задача 9. С первого станка на сборку
поступает 45%, со второго – 55% всех деталей. Среди деталей первого станка 90%
стандартных, второго – 80%. Тогда вероятность того, что взятая наудачу деталь
окажется нестандартной, равна …
Решение.
Для вычисления вероятности события A (взятая наудачу деталь окажется нестандартной) применим
формулу полной вероятности: . Здесь: - вероятность того, что деталь поступила с первого
станка; - вероятность того, что деталь поступила с второго
станка; - условная вероятность того, что деталь нестандартная, если
она изготовлена на первом станке; 
- условная вероятность того, что деталь нестандартная,
если она изготовлена на втором станке.
Тогда
P(A)=0,45(1-0,9)+0,55(1-0,8)=0,045+0,11=0,155.
Задача 10. С первого станка на сборку
поступает 20%, со второго – 80% всех деталей. Среди деталей первого станка 90%
стандартных, второго – 70%. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Тогда
вероятность того, что эта деталь изготовлена на первом станке, равна …
Решение.
Предварительно вычислим вероятности события
A (взятая наудачу деталь окажется стандартной) по формуле
полной вероятности: .
Здесь: 
- вероятность того, что деталь поступила с первого
станка; 
- вероятность того, что деталь поступила с второго
станка; - условная вероятность того, что деталь стандартная,
если она изготовлена на первом станке; - условная вероятность того, что деталь стандартная,
если она изготовлена на втором станке.
Тогда 
0,2∙0,9+0,8∙0,7=0,74..
Теперь вычислим условную вероятность того, что деталь изготовлена на первом
станке, если она оказалась стандартной, по формуле Байеса:
.
Задача 11. Дискретная случайная
величина задана законом распределения вероятностей
Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид…
Решение.
По определению F(x)=P(X<x).
Тогда
а) при 
, F(x)=P(X<1)=0,
б) при 
, F(x)=P(X=1)=0,1,
в) при 
,
F(x)=P(X=1)+ P(X=3)=0,1+0,3=0,4,
г) при x > 5,
F(x)=P(X=1)+ P(X=3)+P(X=5)+P(X=6)= 0,1+0,3+0,6=1.
Следовательно,
Задача 12. Дискретная случайная
величина задана законом распределения вероятностей
Тогда значения a и b могут
быть равны…
Решение.
Так как сумма вероятностей возможных
значений равна 1, то a+b=1-0,1-0,2=0,7. Этому условию удовлетворяет ответ: a=0,4, b=0,3.
Задача 13. Даны две независимые
дискретные случайные величины X и Y:
Тогда закон распределения вероятностей суммы X+Y имеет вид…
Решение.
Возможные
значения xij суммы
дискретных случайных величин X+Y определяются как xij=xi+yj, а соответствующие
вероятности как произведение pij=pi∙qj=P(X=xi)∙P(Y=yj).
Тогда ответ:
Задача 14. Проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность
появления события A постоянна и равна 0,2. Тогда
математическое ожидание дискретной случайной величины X -
числа появлений события A в n=100 проведенных испытаниях, равно…
Решение.
Случайная величина X подчиняется
биномиальному закону распределения вероятностей. Поэтому M(X)=np=100∙0,2=20.
Задача 15. Непрерывная случайная
величина задана функцией распределения вероятностей:
Тогда плотность распределения вероятностей имеет вид…
Решение.
Плотность распределения вероятностей
непрерывной случайной величины вычисляется по формуле: f(x)=F’(x). Тогда 
, (1)’=0 и
Задача 16. Непрерывная случайная
величина X задана плотностью распределения
вероятностей 
. Тогда математическое ожидание a и
дисперсия σ2 этой нормально распределенной случайной
величины равны…
Решение.
Плотность распределения вероятностей нормально
распределенной случайной величины имеет вид: 
. Тогда a=3 ,σ2=16.
Задача 17. Дискретная случайная
величина задана законом распределения вероятностей
Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид…
Решение.
По определению F(x)=P(X<x).
Тогда
а) при , F(x)=P(X<1)=0,
б) при 
, F(x)=P(X=1)=0,2,
в) при 
,
F(x)=P(X=1)+ P(X=2)=0,2+0,1=0,3,
г) при 
,
F(x)=P(X=1)+ P(X=2)+P(X=4)=0,2+0,1+0,3=0,6,
д) при x > 6,
F(x)=P(X=1)+ P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)=1.
Следовательно,
Задача 18. Даны две независимые
дискретные случайные величины X и Y:
Решение.
Тогда закон распределения вероятностей
суммы X + Y
имеет вид…
Возможные значения xij суммы дискретных случайных величин X+Y определяются
как xij=xi+yj, а соответствующие вероятности как
произведение pij=pi∙qj=P(X=xi)∙P(Y=yj).
Тогда правильным будет ответ:
.
Задача 19. Основная гипотеза имеет вид H0: σ2=4. Тогда конкурирующей может являться
гипотеза…
Решение.
Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу,
которая противоречит основной гипотезе. Условию σ2=4 противоречит H1:σ2>4.
Задача 20. При построении выборочного
уравнения парной регрессии вычислены: выборочный коэффициент корреляции rВ=0,85 и выборочные средние квадратические отклонения
σX=3,2 σY=1,6. Тогда выборочный коэффициент
регрессии X на Y равен…
Решение.
Выборочный коэффициент регрессии X на Y вычисляется
по формуле: 
. Тогда 
.
Задача 21. Выборочное уравнение парной
регрессии имеет вид y=-1,56-2,3x.
Тогда выборочный коэффициент корреляции
может быть равен…
(Варианты ответа: |1,56 | - 0,87 | - 2,3 |
0,87)
Решение.
Значение выборочного коэффициента
корреляции, во-первых, принадлежит промежутку [-1,1], а во-вторых, его знак
совпадает со знаком выборочного коэффициента регрессии. Этим условиям
удовлетворяет значение -0,87.
Задача 22. Выборочное уравнение парной
регрессии имеет вид y=6-3x.
Тогда выборочный коэффициент корреляции может быть равен…
( Варианты
ответов: 0,9 | -3,0 | 6,0 | - 0,9 )
Решение.
Значение выборочного коэффициента
корреляции, во-первых, принадлежит промежутку [-1,1], а во-вторых, его знак
совпадает со знаком выборочного коэффициента регрессии. Этим условиям
удовлетворяет значение -0,9 .
Задача 23. Выборочное уравнение парной
регрессии имеет вид y=-5+2x.
Тогда выборочный коэффициент регрессии равен…
Решение.
Если выборочное уравнение парной регрессии
имеет вид y=α+βx,
то выборочный коэффициент регрессии равен β. То есть β=2.
Задача 24. При построении выборочного
уравнения парной регрессии вычислены: выборочный коэффициент корреляции rВ=0,75 и выборочные средние квадратические отклонения
σX=1,1 σY=2,2. Тогда выборочный коэффициент
регрессии X на Y равен…
Решение.
Выборочный коэффициент регрессии X на Y вычисляется
по формуле: 
. Тогда 
.
Задача 25. Мода вариационного ряда
1,2,2,3,3,3,4 равна…
Решение.
Модой вариационного ряда называется варианта,
имеющая наибольшую частоту. Такой вариантой является варианта 3, частота
которой равна
трем.
Задача 26. Медиана вариационного ряда
3,4,5,6,7,12 равна…
Решение.
Медианой
вариационного ряда называется варианта, расположенная в середине вариационного
ряда. Так как в середине ряда располагаются две варианты: 5 и 6, то медиана
равна их средней арифметической 5,5.
Задача 27. Размах варьирования
вариационного ряда 3,5,5,7,9,10,16 равен…
Решение.
Размах варьирования вариационного ряда
определяется как R=xmax-xmin, то есть
R=16-3=13.
Задача 28. В результате измерений
некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок)
получены следующие результаты (в мм): 8, 10, 12. Тогда несмещенная оценка
дисперсии равна…
Решение.
Несмещенная оценка дисперсии вычисляется по
формуле:
, где 
. Вычислив предварительно 
, получаем: 
.
Задача 29. Из генеральной совокупности извлечена
выборка объема n=20:
Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна…
Решение.
Несмещенная оценка математического ожидания
вычисляется по формуле: 
. То есть 
.
Задача 30. Проведено пять измерений
(без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 9, 10, 11,
13, 14. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна…
Решение.
Несмещенная оценка математического ожидания
вычисляется по формуле: 
. То есть 
.
Задача 31. Дана интервальная оценка
(8,45;9,15) математического ожидания нормально распределенного количественного
признака. Тогда точечная оценка математического ожидания равна…
Решение.
Интервальная оценка математического
ожидания нормально распределенного количественного признака представляет собой
интервал, симметричный относительно точечной оценки. Тогда точечная оценка
будет равна 
.
Задача 32. Дана интервальная оценка
(10,45;11,55) математического ожидания нормально распределенного
количественного признака. Тогда точность этой оценки равна…
Решение.
Точность интервальной оценки (a;b) определяется как 
, то есть 
.
Задача
33. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=50, гистограмма частот которой имеет вид:
Тогда значение a равно…
Решение.
Так как объем выборки вычисляется как n=(a+7+5+3)h,
то a=50/2-7-5-3=10.
